Tensor Metrik dalam Koordinat Polar

Koordinat polar ($r,\theta$), memiliki dua vektor satuan, $\hat{r}$ dan $\hat{\theta}$, dimana arah kedua vektor satuan tersebut saling tegak lurus, dalam bahasa matematika dapat dituliskan sebagai

$$\hat{r} \cdot \hat{\theta}=0.$$

Hubungan antara koordinat Kartesian dua dimensi dan koordinat polar diberikan oleh

\begin{align}
x(r,\theta) &= r \cos \theta \nonumber \\
y(r, \theta) &= r \sin \theta \label{kart-pol}
\end{align}

untuk kemudahan dalam pengoperasian, maka dimisalkan $r = x_1$ and $\theta = x_2$, maka pers. ($\ref{kart-pol}$) berubah menjadi

\begin{align}
x(x_1,x_2) &= x_1 \cos x_2 \nonumber \\
y(x_1, x_2)&= x_1 \sin x_2 . \label{kart-pol2}
\end{align}

Diferensial total per. ($\ref{kart-pol2}$) diberikan oleh

\begin{align}
dx &= \cfrac{\partial x}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial x}{\partial x_2} dx_2 \nonumber \\
dy &= \cfrac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial y}{\partial x_2} dx_2 \label{dxdy}
\end{align}

Jarak antara dua titik dalam koordinat Kartesian dua dimensi diberikan oleh teorema Phytagoras

\begin{align}
ds^2 = dx^2 + dy^2 \label{ds}
\end{align}

Subtitusikan pers. ($\ref{dxdy}$) ke pers. ($\ref{ds}$) maka diperoleh

\begin{align}
ds^2 &= \begin{bmatrix}
\cfrac{\partial x}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial x}{\partial x_2} dx_2
\end{bmatrix}^2 + \begin{bmatrix}
\cfrac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial y}{\partial x_2} dx_2
\end{bmatrix}^2 \nonumber \\
ds^2 &= \sum_{i,j=1}^{2} \begin{bmatrix}
\cfrac{\partial x}{\partial x_i} \cfrac{\partial x}{\partial x_j} + \cfrac{\partial y}{\partial x_i} \cfrac{\partial y}{\partial x_j}
\end{bmatrix} dx_i dx_j \label{ds-jabar}
\end{align}

dimana

\begin{align}
\text{g}_{ij} = \cfrac{\partial x}{\partial x_i} \cfrac{\partial x}{\partial x_j} + \cfrac{\partial y}{\partial x_i} \cfrac{\partial y}{\partial x_j} \label{gij}
\end{align}

$\text{g}_{ij}$ disebut sebagai tensor metrik. Komponen-komponen tensor dapat ditampilkan sebagai matriks. Fungsi metrik $\text{g}_{ij}$ dapat dianggap sebagai elemen matriks $2 \times 2$.

\begin{align}
\text{g}_{ij} &= \begin{pmatrix}
\text{g}_{11} & \text{g}_{12} \\
\text{g}_{21} & \text{g}_{22}
\end{pmatrix} \nonumber \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & (x_1)^2
\end{pmatrix} \nonumber \\
\text{g}_{ij} &= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & r^2
\end{pmatrix} \label{gij-matriks}
\end{align}

Dari pers. ($\ref{ds-jabar}$) dan ($\ref{gij-matriks}$) diperoleh jarak antara dua titik dalam koordinat polar

\begin{align}
ds^2 &= \sum_{ij=1}^{2} \text{g}_{ij} dx_i dx_j = \text{g}_{11} dx_1 dx_1 + \text{g}_{12} dx_1 dx_2 \nonumber \\
& \text{ } + \text{g}_{21} dx_2 dx_1 + \text{g}_{22} dx_2 dx_2 \nonumber \\
&= (1) dx_1^2 + (0) dx_1 dx_2 + (0) dx_2 dx_1 + (x_1^2) dx_2^2 \nonumber \\
&= dx_1^2 + x_1^2 dx_2^2 \nonumber \\
ds^2 &= dr^2 + r^2 d\theta^2
\end{align}

Untuk lebih jelasnya, versi pdf dapat diunduh dengan mengklik tautan di bawah ini:

Metric Tensor in Polar Coordinates.pdf

Mohon dimaklumi kalau bahasa Inggris-nya amburadul, masih pemula. Demikian postingan kali ini. Semoga bermanfaat!