Processing math: 100%

Minggu, 24 April 2016

Tensor Metrik dalam Koordinat Polar


Koordinat polar (r,\theta), memiliki dua vektor satuan, \hat{r} dan \hat{\theta}, dimana arah kedua vektor satuan tersebut saling tegak lurus, dalam bahasa matematika dapat dituliskan sebagai

\hat{r} \cdot \hat{\theta}=0.

Hubungan antara koordinat Kartesian dua dimensi dan koordinat polar diberikan oleh

\begin{align} x(r,\theta) &= r \cos \theta \nonumber \\ y(r, \theta) &= r \sin \theta \label{kart-pol} \end{align}

untuk kemudahan dalam pengoperasian, maka dimisalkan r = x_1 and \theta = x_2, maka pers. (\ref{kart-pol}) berubah menjadi

\begin{align} x(x_1,x_2) &= x_1 \cos x_2 \nonumber \\ y(x_1, x_2)&= x_1 \sin x_2 . \label{kart-pol2} \end{align}

Diferensial total per. (\ref{kart-pol2}) diberikan oleh

\begin{align} dx &= \cfrac{\partial x}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial x}{\partial x_2} dx_2 \nonumber \\ dy &= \cfrac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial y}{\partial x_2} dx_2 \label{dxdy} \end{align}

Jarak antara dua titik dalam koordinat Kartesian dua dimensi diberikan oleh teorema Phytagoras

\begin{align} ds^2 = dx^2 + dy^2 \label{ds} \end{align}

Subtitusikan pers. (\ref{dxdy}) ke pers. (\ref{ds}) maka diperoleh

\begin{align} ds^2 &= \begin{bmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial x}{\partial x_2} dx_2 \end{bmatrix}^2 + \begin{bmatrix} \cfrac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cfrac{\partial y}{\partial x_2} dx_2 \end{bmatrix}^2 \nonumber \\ ds^2 &= \sum_{i,j=1}^{2} \begin{bmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial x_i} \cfrac{\partial x}{\partial x_j} + \cfrac{\partial y}{\partial x_i} \cfrac{\partial y}{\partial x_j} \end{bmatrix} dx_i dx_j \label{ds-jabar} \end{align}

dimana

\begin{align} \text{g}_{ij} = \cfrac{\partial x}{\partial x_i} \cfrac{\partial x}{\partial x_j} + \cfrac{\partial y}{\partial x_i} \cfrac{\partial y}{\partial x_j} \label{gij} \end{align}

\text{g}_{ij} disebut sebagai tensor metrik. Komponen-komponen tensor dapat ditampilkan sebagai matriks. Fungsi metrik \text{g}_{ij} dapat dianggap sebagai elemen matriks 2 \times 2.

\begin{align} \text{g}_{ij} &= \begin{pmatrix} \text{g}_{11} & \text{g}_{12} \\ \text{g}_{21} & \text{g}_{22} \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x_1)^2 \end{pmatrix} \nonumber \\ \text{g}_{ij} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix} \label{gij-matriks} \end{align}

Dari pers. (\ref{ds-jabar}) dan (\ref{gij-matriks}) diperoleh jarak antara dua titik dalam koordinat polar

\begin{align} ds^2 &= \sum_{ij=1}^{2} \text{g}_{ij} dx_i dx_j = \text{g}_{11} dx_1 dx_1 + \text{g}_{12} dx_1 dx_2 \nonumber \\ & \text{ } + \text{g}_{21} dx_2 dx_1 + \text{g}_{22} dx_2 dx_2 \nonumber \\ &= (1) dx_1^2 + (0) dx_1 dx_2 + (0) dx_2 dx_1 + (x_1^2) dx_2^2 \nonumber \\ &= dx_1^2 + x_1^2 dx_2^2 \nonumber \\ ds^2 &= dr^2 + r^2 d\theta^2 \end{align}

Untuk lebih jelasnya, versi pdf dapat diunduh dengan mengklik tautan di bawah ini:
Metric Tensor in Polar Coordinates.pdf
Mohon dimaklumi kalau bahasa Inggris-nya amburadul, masih pemula. Demikian postingan kali ini. Semoga bermanfaat!

Tidak ada komentar: