Senin, 03 Oktober 2016

Invariansi Skalar Terhadap Rotasi Sistem Koordinat

Skalar merupakan suatu besaran fisika yang hanya memiliki nilai tanpa orientasi (arah). Contohnya adalah panjang, luas, potensial gravitasi, temperatur dan lain-lain. Skalar memiliki nilai yang tidak berubah pada satu titik dalam ruang-waktu walaupun terjadi perubahan pelabelan koordinat. Pelabelan koordinat bergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Untuk memahami masalah ini, marilah kita menyimak cerita di bawah ini.

Baco sedang menghitung potensial gravitasi $\phi$. Baco menggunakan sistem koordinat Kartesian dua dimensi dengan matahari sebagai pusat koordinat. Baco mengambil satu titik di dalam ruang waktu dan diberi label ($x$, $y$). Bagi Baco, potensial gravitasi $\phi$ di posisi ($x$, $y$) diberikan oleh potensial gravitasi Newton, yaitu

\begin{align}
\phi (x,y) = - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{\sqrt{x^2 + y^2}} . \label{[phi}
\end{align}

Seseorang yang lain, sebut saja Becce, juga menghitung potensial gravitasi $\phi$ pada satu titik dalam ruang-waktu sebagaimana yang dihitung oleh Baco. Becce juga menggunakan sistem koordinat Kartesian dua dimensi dengan matahari sebagai pusat koordinat. Namun, sistem koordinat yang digunakan oleh Becce merupakan rotasi sistem koordinat yang digunakan oleh Baco sebesar $\theta$ dengan arah rotasi yang berlawanan arah jarum jam.

Becce mengambil titik yang sama dengan Baco dalam ruang-waktu dan memberi label titik tersebut dengan ($x'$, $y'$). Bagi Becce, potensial gravitasi $\phi '$ di posisi ($x'$, $y'$) adalah

\begin{align}
\phi ' (x',y') = - \frac{GM}{r'} = -\frac{GM}{\sqrt{x'^2 + y'^2}} . \label{phiaksen}
\end{align}

Karena koordinat dua dimensi yang digunakan oleh Becce mengalami rotasi sebesar $\theta$ dengan arah yang berlawanan arah jarum jam terhadap sistem koordinat yang digunakan oleh Baco maka hubungan antara ($x'$, $y'$) dan ($x$, $y$) diberikan oleh

\begin{align}
x' &= x \cos \theta + y \sin \theta \label{xaksen} \\
y' &= - x \sin \theta + y \cos \theta . \label{yaksen}
\end{align}

Jika (\ref{xaksen}) dan (\ref{yaksen}) dimasukkan ke dalam (\ref{phiaksen}), maka

\begin{align}
\phi ' (x',y') &= - \frac{GM}{\sqrt{(x \cos \theta + y \sin \theta)^2 + (- x \sin \theta + y \cos \theta)^2}} \nonumber \\
&= - \frac{GM}{\text{sqrt}\{(x^2 \cos^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta + y^2 \sin^2 \theta ) + } \nonumber \\
& \quad \frac{ }{( x^2 \sin^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta + y^2 \cos^2 \theta)\}} \nonumber \\
&= -\frac{GM}{\sqrt{x^2 \cos^2 \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta}} \nonumber \\
&= -\frac{GM}{\sqrt{x^2 ( cos^2 \theta + \sin^2 \theta ) + y^2 (sin^2 \theta + \cos^2 \theta )}} . \label{xx}
\end{align}

Mengingat ($\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$) $=$ ($\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$) $=1$ maka (\ref{xx}) berubah menjadi

\begin{align}
\phi ' (x',y') = - \frac{GM}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \label{hasil}
\end{align}

Terlihat bahwa

\begin{align}
\phi ' (x',y') = - \frac{GM}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \phi (x,y).
\end{align}

Jadi, potensial gravitasi sebagai sebuah skalar tidak berubah (invarian) terhadap rotasi sistem koordinat.

Referensi


Purwanto, Agus, 2009, Pengantar Kosmologi, ITS Press, Surabaya

Surungan, Tasrief, 2012, Fisika Matematika (Volume I), Jurusan Fisika FMIPA Unhas, Makassar

Silakan mengunduh versi PDF dengan mengunjungi tautan di bawah ini:
Semoga bermanfaat!

Posting Komentar